問題は3つの関数の微分を求めるものです。 (8) $y = x^x$ (9) $y = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^2}$ (10) $y = x^{x^x}$

1. 問題の内容

問題は3つの関数の微分を求めるものです。

(8) $y = x^x$

(9) $y = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^2}$

(10) $y = x^{x^x}$

2. 解き方の手順

(8) $y = x^x$ の場合:

対数微分法を用います。

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log(x^x) = x \log x$

次に、両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

(9) $y = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^2}$ の場合:

対数微分法を用います。

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log \left( \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^2} \right) = 2 \log(x+3) + 3 \log(x-2) - 2 \log(x+1)$

次に、両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-2} - \frac{2}{x+1}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2(x-2)(x+1) + 3(x+3)(x+1) - 2(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-2)(x+1)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 -x -2) + 3(x^2 + 4x + 3) - 2(x^2 +x -6)}{(x+3)(x-2)(x+1)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 -2x -4 + 3x^2 + 12x + 9 - 2x^2 -2x + 12}{(x+3)(x-2)(x+1)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 8x + 17}{(x+3)(x-2)(x+1)}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{3x^2 + 8x + 17}{(x+3)(x-2)(x+1)} = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^2} \cdot \frac{3x^2 + 8x + 17}{(x+3)(x-2)(x+1)} = \frac{(x+3)(x-2)^2 (3x^2 + 8x + 17)}{(x+1)^3}$

(10) $y = x^{x^x}$ の場合:

対数微分法を用います。

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log(x^{x^x}) = x^x \log x$

次に、両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x \log x)$

積の微分法を用いると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\frac{d}{dx} x^x) \log x + x^x (\frac{d}{dx} \log x)$

(8)より$\frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1)$ なので、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^x (\log x)^2 + x^x \log x + \frac{x^x}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left[ x^x (\log x)^2 + x^x \log x + \frac{x^x}{x} \right] = x^{x^x} \left[ x^x (\log^2 x + \log x + \frac{1}{x}) \right]$

3. 最終的な答え

(8) $\frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1)$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+3)(x-2)^2(3x^2+8x+17)}{(x+1)^3}$

(10) $\frac{dy}{dx} = x^{x^x} \left[ x^x \left( (\log x)^2 + \log x + \frac{1}{x} \right) \right]$