関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を整理する。

$f(x) = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 - 2x^{-1/2} + x^{-1}$

次に、各項を微分する。

定数項1の微分は0である。

$-2x^{-1/2}$ の微分は $-2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = x^{-3/2} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

$x^{-1}$ の微分は $-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

したがって、$f'(x) = 0 + \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

通分して整理する。

$f'(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{x} - 1}{x^2}$