与えられた3つの数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。 (1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ (2) $a_n = \left( \frac{n}{n+2} \right)^n$ (3) $a_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。

(1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

(2) $a_n = \left( \frac{n}{n+2} \right)^n$

(3) $a_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ の場合:

有理化を行います。

$a_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$ であるから、$a_n \to 0$ となります。

(2) $a_n = \left( \frac{n}{n+2} \right)^n$ の場合:

$a_n = \left( \frac{n}{n+2} \right)^n = \left( \frac{n+2-2}{n+2} \right)^n = \left( 1 - \frac{2}{n+2} \right)^n$

ここで、$m = n+2$ とおくと、$n = m-2$ となり、$n \to \infty$ のとき、$m \to \infty$ となります。

$a_n = \left( 1 - \frac{2}{m} \right)^{m-2} = \left( 1 - \frac{2}{m} \right)^m \left( 1 - \frac{2}{m} \right)^{-2}$

$\lim_{m \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{m} \right)^m = e^{-2}$ であり、$\lim_{m \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{m} \right)^{-2} = 1$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{-2} \cdot 1 = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ となります。

(3) $a_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$ の場合:

これはネイピア数 $e$ の定義に関連する極限です。

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x$ であることから、

$x = -1$ とすると、$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{1}{e^2}$

(3) $\frac{1}{e}$