数列の第 $n$ 項が与えられたとき、その数列が上に有界、下に有界、または有界のいずれであるかを答える問題です。数列は次の4つです。 (1) $1-2n$ (2) $\frac{(-1)^n}{n}$ (3) $\frac{n}{n+1}$ (4) $\frac{n^2}{n+1}$

1. 問題の内容

数列の第 $n$ 項が与えられたとき、その数列が上に有界、下に有界、または有界のいずれであるかを答える問題です。数列は次の4つです。

(1) $1-2n$

(2) $\frac{(-1)^n}{n}$

(3) $\frac{n}{n+1}$

(4) $\frac{n^2}{n+1}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = 1-2n$ の場合

$n$ が大きくなるにつれて、$a_n$ は負の方向に限りなく小さくなるので、下に有界ではありません。

また、$n=1$ のとき $a_1 = 1-2(1) = -1$ であり、$n=2$ のとき $a_2 = 1-2(2) = -3$ です。

$a_n$ は単調減少なので、上に有界ではありません。したがって、有界ではありません。

(2) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ の場合

$n$ が大きくなるにつれて、$a_n$ は 0 に近づきます。$n$ が偶数のとき $a_n$ は正の値、奇数のとき $a_n$ は負の値をとります。

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{-1}{1} = -1$

$n=2$ のとき $a_2 = \frac{1}{2} = 0.5$

$n=3$ のとき $a_3 = \frac{-1}{3} \approx -0.33$

$n=4$ のとき $a_4 = \frac{1}{4} = 0.25$

上に有界であることは、$a_n \leq M$ を満たす $M$ が存在することです。

下に有界であることは、$a_n \geq m$ を満たす $m$ が存在することです。

$a_n$ は $-1 \leq a_n \leq 0.5$ なので、上に有界かつ下に有界であり、有界です。

(3) $a_n = \frac{n}{n+1}$ の場合

$a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}$

$n$ が大きくなるにつれて、$a_n$ は 1 に近づきます。

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{1}{2} = 0.5$

$n=2$ のとき $a_2 = \frac{2}{3} \approx 0.67$

$a_n$ は単調増加なので、$a_n \geq a_1 = \frac{1}{2}$ です。したがって、下に有界です。

また、$a_n < 1$ なので、上に有界でもあります。したがって、有界です。

(4) $a_n = \frac{n^2}{n+1}$ の場合

$a_n = \frac{n^2}{n+1} = \frac{n^2-1+1}{n+1} = \frac{(n+1)(n-1)+1}{n+1} = n-1+\frac{1}{n+1}$

$n$ が大きくなるにつれて、$a_n$ も大きくなるので、上に有界ではありません。

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{1}{2} = 0.5$

$n=2$ のとき $a_2 = \frac{4}{3} \approx 1.33$

$a_n$ は単調増加なので、$a_n \geq a_1 = \frac{1}{2}$ です。したがって、下に有界です。

3. 最終的な答え

(1) 下に有界ではない、上に有界ではない、有界ではない

(2) 上に有界、下に有界、有界

(3) 上に有界、下に有界、有界

(4) 下に有界、上に有界ではない、有界ではない