関数 $f(x, y, z) = x^2 + 2xy - 4xz - y^2 + y + z^2$ の極値を、ヘッセ行列を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y, z) = x^2 + 2xy - 4xz - y^2 + y + z^2$ の極値を、ヘッセ行列を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x, y, z)$ の一階偏導関数を求めます。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y - 4z$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 2y + 1$

$f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = -4x + 2z$

次に、一階偏導関数をすべて 0 とおき、連立方程式を解いて停留点を求めます。

$2x + 2y - 4z = 0$

$2x - 2y + 1 = 0$

$-4x + 2z = 0$

3 つの式を解くと、

$2x + 2y - 4z = 0$ (1)

$2x - 2y + 1 = 0$ (2)

$-4x + 2z = 0$ (3)

(1) + (2) より

$4x - 4z + 1 = 0$ (4)

(3) より $z = 2x$ であるから、(4) に代入して

$4x - 4(2x) + 1 = 0$

$4x - 8x + 1 = 0$

$-4x = -1$

$x = \frac{1}{4}$

$z = 2x = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$

(2) より $2(\frac{1}{4}) - 2y + 1 = 0$

$\frac{1}{2} - 2y + 1 = 0$

$-2y = -\frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{4}$

したがって、停留点は $(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ です。

次に、二階偏導関数を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2$

$f_{xz} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = -4$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2$

$f_{yz} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = 0$

$f_{zx} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = -4$

$f_{zy} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} = 0$

$f_{zz} = \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 2$

ヘッセ行列 $H$ は次のようになります。

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\ f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

停留点 $(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ におけるヘッセ行列の行列式を計算します。

$det(H) = 2(-2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) - 2(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-4)) + (-4)(2 \cdot 0 - (-2) \cdot (-4))$

$= 2(-4) - 2(4) - 4(-8) = -8 - 8 + 32 = 16 > 0$

ヘッセ行列の主座小行列式を調べます。

$D_1 = 2 > 0$

$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 2(-2) - 2(2) = -4 - 4 = -8 < 0$

$D_3 = det(H) = 16 > 0$

主座小行列式の符号は $+,-,+$ となるため、ヘッセ行列は不定値行列です。

したがって、停留点 $(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ は鞍点であり、極値を持ちません。

3. 最終的な答え

関数 $f(x, y, z) = x^2 + 2xy - 4xz - y^2 + y + z^2$ は極値を持ちません。