与えられた数列の極限値を求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n} $$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値を求める問題です。

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\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}

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2. 解き方の手順

まず、分子と分母を$n$で割ります。

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\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{n^2+1}}{n}+1}

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次に、$\frac{\sqrt{n^2+1}}{n}$を変形します。

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\frac{\sqrt{n^2+1}}{n} = \sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}

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したがって、

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\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{n^2+1}}{n}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}

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$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$なので、

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\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$