$z = g(y)$ かつ $y = f(x)$ であるとき、$f$ と $g$ がともに2回微分可能ならば、$z$ は $x$ に関して2回微分可能であり、次の式が成り立つことを示す問題です。 $\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dz}{dy}\frac{d^2y}{dx^2}$

1. 問題の内容

$z = g(y)$ かつ $y = f(x)$ であるとき、$f$ と $g$ がともに2回微分可能ならば、$z$ は $x$ に関して2回微分可能であり、次の式が成り立つことを示す問題です。

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dz}{dy}\frac{d^2y}{dx^2}$

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ で1回微分します。合成関数の微分を用いると、

$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$

次に、この式をさらに $x$ で微分します。積の微分と合成関数の微分を用いると、

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx} \right)$

$= \frac{d}{dx} \left(\frac{dz}{dy}\right) \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right)$

$= \frac{d}{dy} \left(\frac{dz}{dy}\right) \frac{dy}{dx} \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$

$= \frac{d^2z}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dz}{dy}\frac{d^2y}{dx^2}$

これで求める式が導かれました。

3. 最終的な答え

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dz}{dy}\frac{d^2y}{dx^2}$