与えられた数列の極限値を求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{5n^2 + 4n + 3}}{n} $$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値を求める問題です。

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\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{5n^2 + 4n + 3}}{n}

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2. 解き方の手順

まず、分子の根号の中の式を$n^2$でくくり出します。

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\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2(5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2})}}{n}

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次に、根号の中から$n^2$を出すと$n$になるので、

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\lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}}{n}

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$n$を約分すると、

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\lim_{n \to \infty} \sqrt{5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}

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$n$を無限大に近づけると、$\frac{4}{n}$と$\frac{3}{n^2}$は0に収束するので、

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\sqrt{5 + 0 + 0} = \sqrt{5}

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したがって、極限値は$\sqrt{5}$となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$