問題は3つあります。 (1) $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを描く（凹凸も調べる）。 (2) (1)の関数の最大値を求める。 (3) $e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ のどちらが大きいか。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを描く（凹凸も調べる）。

(2) (1)の関数の最大値を求める。

(3) $e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ のどちらが大きいか。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを描く。

まず、定義域を考えます。対数関数 $\log x$ が定義されるためには、$x > 0$ が必要です。

次に、導関数を計算します。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$

増減表は以下のようになります。

| x | 0 < x < e | e | e < x |

| :---- | :-------- | :-------- | :------ |

| y' | + | 0 | - |

| y | 増加 | 極大値1/e | 減少 |

次に、二階導関数を計算します。

$y'' = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\log x}{x^4} = \frac{-3 + 2\log x}{x^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{-3 + 2\log x}{x^3} = 0 \implies -3 + 2\log x = 0 \implies 2\log x = 3 \implies \log x = \frac{3}{2} \implies x = e^{\frac{3}{2}}$

凹凸を調べます。

$x = e^{\frac{3}{2}}$ のとき、$y = \frac{\log e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}}$

$0 < x < e^{\frac{3}{2}}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)。

$x > e^{\frac{3}{2}}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)。

漸近線を調べます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ なので、$x$軸が漸近線です。

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x} = -\infty$ なので、$x = 0$ が漸近線です。

以上の情報から、$y = \frac{\log x}{x}$ のグラフを描くことができます。

(2) 関数の最大値を求める。

(1)の増減表から、$x = e$ のとき最大値 $y = \frac{1}{e}$ をとります。

(3) $e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ のどちらが大きいか。

$y = \frac{\log x}{x}$ について考えます。

$x = e$ のとき、$y = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$.

$x = \pi$ のとき、$y = \frac{\log \pi}{\pi}$.

$e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ の大小を比較するために、両辺の対数をとります。

$\log e^{\pi} = \pi \log e = \pi$

$\log \pi^{e} = e \log \pi$

$\frac{\log e}{e}$ と $\frac{\log \pi}{\pi}$ の大小を比較します。

関数 $y = \frac{\log x}{x}$ は、$x > e$ で減少関数なので、$\frac{\log e}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$ が成り立ちます。

よって、$\frac{1}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$.

したがって、$\frac{\pi}{e} > \log \pi$.

$\pi > e \log \pi = \log \pi^e$

$e^{\pi} > \pi^e$.

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略（増減表、凹凸、漸近線を考慮して描く）

(2) 最大値: $\frac{1}{e}$

(3) $e^{\pi}$