2つの関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(f \circ f)(x)$ を求める。

$f(f(x))$ を計算します。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、

$f(f(x)) = f(x^2 + 2) = (x^2 + 2)^2 + 2$

$(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$ なので、

$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$

$x \geq 0$ ならば $f(x) = x^2 + 2 \geq 2 > 0$。従って $f(f(x))$ においても、 $x \geq 0$ の条件が適用されます。

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

$f(g(x))$ を計算します。

$g(x) = \sqrt{x-2}$ なので、

$f(g(x)) = f(\sqrt{x-2}) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$

$(\sqrt{x-2})^2 = x-2$ なので、

$f(g(x)) = x - 2 + 2 = x$

$x \geq 2$ ならば $g(x)$ は定義される。 $f(g(x))$ が定義されるためには $g(x) \geq 0$ である必要がある。

$x \geq 2$ なので、 $g(x) = \sqrt{x-2} \geq 0$ は常に成り立つ。

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$

$(f \circ g)(x) = x$