極限 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ の極限を求めるために、分子と分母を $x^2$ で割ります。

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\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}

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$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

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\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4 - 0 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4

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3. 最終的な答え

4