極限 $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x+1} = 1$ が成り立つように、$a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x+1} = 1$ が成り立つように、$a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母 $x+1$ は $1+1=2$ に近づきます。

したがって、極限が存在するためには、分子 $ax^2 + bx + 2$ も $x \to 1$ のとき、有限の値に近づく必要があります。

極限値が $1$ であることから、分子は $x \to 1$ のとき、$2$ に近づく必要があります。

したがって、

$a(1)^2 + b(1) + 2 = 2$

$a + b + 2 = 2$

$a + b = 0$

$b = -a$

この結果を元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 - ax + 2}{x+1} = 1$

$ax^2 - ax + 2 = a(x^2 - x) + 2 = a(x(x-1)) + 2$

ここで、極限が存在するためには、$x \to 1$ のとき、$ax^2 - ax + 2 - (x+1)$は$x-1$で割り切れる必要があります。

$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 - ax + 2}{x+1} = \frac{a - a + 2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$　

$x = 1$のとき、$ax^2 + bx + 2 = a + b + 2 = 2$

なので、$a+b = 0$が成り立つ必要があります。

極限値が存在するために、$x \to 1$のとき分子が0に近づく必要があります。$ax^2 + bx + 2 = (x-1)(cx+d)$という形になっている必要があります。

しかし、 $x=1$の時、$ax^2 + bx + 2 = a+b+2 = 2$となり0にならないため、単純には因数分解できません。

条件より、$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+2}{x+1} = 1$であるため、$x=1$の時$\frac{ax^2+bx+2}{x+1} = 1$が成り立つ必要はありません。

$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+2}{x+1} = \frac{a(1)^2 + b(1) + 2}{1+1} = \frac{a+b+2}{2}=1$

$a+b+2 = 2$

$a+b=0$

$b = -a$

したがって

$f(x) = ax^2 - ax + 2$

$f(1) = a - a + 2 = 2$

元の式に戻って、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 - ax + 2}{x+1} = \lim_{x \to 1} \frac{2ax - a}{1} = 2a - a = a = 1$

$a = 1$

$b = -a = -1$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -1$