関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数 $(n \ge 1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数 $(n \ge 1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数が以下のように表されるというものです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_nC_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${}_nC_k$ は二項係数を表し、${}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ です。

$u(x) = x^2$、 $v(x) = e^{2x}$ とおきます。

それぞれの導関数を計算します。

$u'(x) = 2x$

$u''(x) = 2$

$u^{(k)}(x) = 0$ ($k \ge 3$のとき)

$v'(x) = 2e^{2x}$

$v''(x) = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

$v'''(x) = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

一般に $v^{(k)}(x) = 2^k e^{2x}$ が成り立ちます。

ライプニッツの公式に当てはめると、

$y^{(n)} = (x^2 e^{2x})^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_nC_k (x^2)^{(n-k)} (e^{2x})^{(k)}$

$u(x)=x^2$ の $n-k$ 次導関数は $n-k \ge 3$ のとき $0$ となることに注意すると、$k$ は $n-k=0, 1, 2$ の場合のみを考えればよいので、$k$ は $n, n-1, n-2$ に対応します。 $k>n$となる項は存在しないことに注意してください。

$n-k = 0$ のとき $k=n$ であり、${}_nC_n = 1$、$u^{(0)} = x^2$ 、$v^{(n)} = 2^n e^{2x}$ であるから、$x^2 2^n e^{2x}$

$n-k = 1$ のとき $k=n-1$ であり、${}_nC_{n-1} = n$、$u^{(1)} = 2x$ 、$v^{(n-1)} = 2^{n-1} e^{2x}$ であるから、$2x n 2^{n-1} e^{2x} = n x 2^n e^{2x}$

$n-k = 2$ のとき $k=n-2$ であり、${}_nC_{n-2} = \frac{n(n-1)}{2}$、$u^{(2)} = 2$ 、$v^{(n-2)} = 2^{n-2} e^{2x}$ であるから、$2 \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} e^{2x} = n(n-1) 2^{n-2} e^{2x}$

よって、

$y^{(n)} = x^2 2^n e^{2x} + n x 2^n e^{2x} + n(n-1) 2^{n-2} e^{2x}$

$= e^{2x} 2^{n-2} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^{n-2} e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$