(1) 関数 $y=x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求めよ。 (2) $-1 \le x \le 2$ のとき、関数 $y=(x^2-2x-1)^2 - 6(x^2-2x-1) + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y=x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求めよ。

(2) $-1 \le x \le 2$ のとき、関数 $y=(x^2-2x-1)^2 - 6(x^2-2x-1) + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^4 - 6x^2 + 10$ を平方完成する。

$t = x^2$ とおくと、

$y = t^2 - 6t + 10 = (t-3)^2 + 1 = (x^2-3)^2 + 1$

$x^2 \ge 0$ より、$x^2 = 3$ のとき最小値をとる。

最小値は $1$。

(2)

$t = x^2 - 2x - 1$ とおくと、

$y = t^2 - 6t + 5 = (t-3)^2 - 4$

$t = x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2$

$-1 \le x \le 2$ より、

$x=1$ のとき、$t = -2$（最小値）

$x=-1$ のとき、$t = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1+2-1 = 2$

$x=2$ のとき、$t = 2^2 - 2(2) - 1 = 4-4-1 = -1$

よって、$-2 \le t \le 2$

$y = (t-3)^2 - 4$ は、$t \le 3$ で減少関数なので、

$t = -2$ のとき、最大値 $y = (-2-3)^2 - 4 = 25-4 = 21$

$t = 2$ のとき、最小値 $y = (2-3)^2 - 4 = 1-4 = -3$

3. 最終的な答え

(1) 最小値：1

(2) 最大値：21、最小値：-3