次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 9 \cdot 2^8$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 9 \cdot 2^8$

2. 解き方の手順

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 9 \cdot 2^8$

両辺に2をかけます。

$2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 8 \cdot 2^8 + 9 \cdot 2^9$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 9 \cdot 2^8) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 8 \cdot 2^8 + 9 \cdot 2^9)$

$-S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^8 - 9 \cdot 2^9$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n} ar^k = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ を用いて、$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^8$ を計算します。

$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^8 = \frac{1-2^9}{1-2} = \frac{1-512}{-1} = 511$

よって

$-S = 511 - 9 \cdot 2^9 = 511 - 9 \cdot 512 = 511 - 4608 = -4097$

$S = 4097$

3. 最終的な答え

4097