与えられた不等式 $2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) \leq -\frac{1}{2}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) \leq -\frac{1}{2}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を2で割ります。

$\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) \leq -\frac{1}{4}$

次に、$2\theta - \frac{\pi}{3} = x$ と置くと、$\cos x \leq -\frac{1}{4}$ を解くことになります。

$\cos x = -\frac{1}{4}$ となる $x$ の値を求めます。$\cos x$ の値が$-\frac{1}{4}$以下となる範囲を考えると、

$\arccos(-\frac{1}{4}) \leq x \leq 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4})$

となります。ここで、$\arccos(-\frac{1}{4}) \approx 1.823$ です。

$x = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ を元に戻すと、

$\arccos(-\frac{1}{4}) \leq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leq 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4})$

不等式の各辺に$\frac{\pi}{3}$を足します。

$\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{3} \leq 2\theta \leq 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{3}$

不等式の各辺を2で割ると、

$\frac{1}{2} \arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \pi - \frac{1}{2} \arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6}$

$\frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6} \approx \frac{1.823}{2} + \frac{3.1416}{6} \approx 0.9115 + 0.5236 \approx 1.4351$

$\pi - \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6} \approx 3.1416 - 0.9115 + 0.5236 \approx 2.7537$

周期性を考慮すると、一般解は次のようになります。

$\frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6} + n\pi \leq \theta \leq \pi - \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6} + n\pi$, ($n$は整数)

特に指定がない場合、$\theta$ の範囲を $0 \leq \theta \leq 2\pi$ とすると、

$n=0$ のとき、$\frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \pi - \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6}$

$n=1$ のとき、$\frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq 2\pi - \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \pi - \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \frac{\pi}{6}$