定積分 $\int_{0}^{1} \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$\log x$ の積分は $\int \log x \, dx = x \log x - x + C$ となります。

ただし、$C$は積分定数です。

部分積分を行うために、$u = \log x$ と $dv = dx$ を選びます。すると、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ なので、

$\int_{0}^{1} \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ x \log x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 \, dx$

まず、$\left[ x \log x \right]_{0}^{1}$ を計算します。

$1 \cdot \log 1 = 1 \cdot 0 = 0$ です。

$\lim_{x \to 0} x \log x$ は不定形なので、ロピタルの定理を用いて計算します。

$\lim_{x \to 0} x \log x = \lim_{x \to 0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} (-x) = 0$

したがって、$\left[ x \log x \right]_{0}^{1} = 0 - 0 = 0$ です。

次に、$\int_{0}^{1} 1 \, dx$ を計算します。

$\int_{0}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$

したがって、

$\int_{0}^{1} \log x \, dx = 0 - 1 = -1$

3. 最終的な答え

-1