$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の(1)の方程式と(2)の不等式を解きます。 (1) $\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 1$ (2) $2\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) \le -1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の(1)の方程式と(2)の不等式を解きます。

(1) $\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 1$

(2) $2\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) \le -1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、方程式を $\sin$ について解きます。

$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

よって、

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}$ または $\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

$\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

(2)

まず、不等式を $\cos$ について解きます。

$\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) \le -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $0 \le 2\theta < 4\pi$

$-\frac{\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} < 4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$

$\cos x \le -\frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は $\frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$ です。

したがって、

$\frac{2\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \le 2\theta \le \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$

$\pi \le 2\theta \le \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$

さらに、$2\pi$ を足した範囲も考える必要があります。

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi$

$\frac{8\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{10\pi}{3}$

$\frac{8\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \le 2\theta \le \frac{10\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$

$3\pi \le 2\theta \le \frac{11\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{2} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$

(2) $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$