与えられた3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+2x+4x^2} - \sqrt{1-x-x^2}}{x-3x^2}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{x^2}$ (3) $\lim_{x\to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+2x+4x^2} - \sqrt{1-x-x^2}}{x-3x^2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{x^2}$

(3) $\lim_{x\to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x}$

2. 解き方の手順

(1) 分母分子に$\sqrt{1+2x+4x^2} + \sqrt{1-x-x^2}$を掛けて、有理化します。

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+2x+4x^2) - (1-x-x^2)}{(x-3x^2)(\sqrt{1+2x+4x^2} + \sqrt{1-x-x^2})} = \lim_{x\to 0} \frac{3x+5x^2}{x(1-3x)(\sqrt{1+2x+4x^2} + \sqrt{1-x-x^2})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{3+5x}{(1-3x)(\sqrt{1+2x+4x^2} + \sqrt{1-x-x^2})}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{3}{(1)(\sqrt{1}+\sqrt{1})} = \frac{3}{2}$ となります。

(2) $1 - \cos(3x) = 2\sin^2(\frac{3x}{2})$ を用います。

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(3x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2\sin^2(\frac{3x}{2})}{x^2} = \lim_{x\to 0} 2\frac{\sin^2(\frac{3x}{2})}{(\frac{3x}{2})^2} \cdot \frac{(\frac{3x}{2})^2}{x^2} = \lim_{x\to 0} 2\cdot 1 \cdot \frac{\frac{9}{4}x^2}{x^2} = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

(3) $\lim_{x\to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x}$ は $e$ の定義を利用します。

$\lim_{x\to \infty} (1+\frac{a}{x})^x = e^a$ であることを利用します。

$\lim_{x\to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x} = \lim_{x\to \infty} [(1+\frac{-2}{x})^x]^3 = (e^{-2})^3 = e^{-6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{9}{2}$

(3) $e^{-6}$