関数 $y = x^2e^{2x}$ の $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2e^{2x}$ の $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の 1 次、2 次、3 次導関数を計算し、規則性を見つける。

$y' = 2xe^{2x} + x^2(2e^{2x}) = (2x^2+2x)e^{2x}$

$y'' = (4x+2)e^{2x} + (2x^2+2x)(2e^{2x}) = (4x+2+4x^2+4x)e^{2x} = (4x^2+8x+2)e^{2x}$

$y''' = (8x+8)e^{2x} + (4x^2+8x+2)(2e^{2x}) = (8x+8+8x^2+16x+4)e^{2x} = (8x^2+24x+12)e^{2x}$

一般に、

$y^{(n)} = (a_n x^2 + b_n x + c_n)e^{2x}$

と予想する。

$y^{(n+1)} = (2a_n x + b_n)e^{2x} + (a_n x^2 + b_n x + c_n) 2e^{2x} = (2a_n x + b_n + 2a_n x^2 + 2b_n x + 2c_n)e^{2x} = (2a_n x^2 + (2a_n+2b_n)x + (b_n+2c_n))e^{2x}$

よって、

$a_{n+1} = 2a_n$

$b_{n+1} = 2a_n + 2b_n$

$c_{n+1} = b_n + 2c_n$

$a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 8$ より $a_n = 2^n$

$b_1 = 2, b_2 = 8, b_3 = 24$

$b_{n+1} = 2^{n+1} + 2b_n$, $b_n/2^n = d_n$ とおくと、 $2^{n+1} d_{n+1} = 2^{n+1} + 2(2^n d_n)$, $d_{n+1} = 1 + d_n$.

$d_1 = b_1/2 = 1$, $d_n = n$. よって、 $b_n = n 2^n$.

$c_1 = 0, c_2 = 2, c_3 = 12$

$c_{n+1} = n 2^n + 2 c_n$, $c_n/2^n = e_n$ とおくと、$2^{n+1} e_{n+1} = n 2^n + 2(2^n e_n)$, $2e_{n+1} = n + 2e_n$.

$e_{n+1} = n/2 + e_n$, $e_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2}$

$e_n = \frac{1}{2} \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$. よって、$c_n = \frac{n(n-1)}{4} 2^n = \frac{n(n-1)}{2^2} 2^n = (n^2-n)2^{n-2}$.

したがって、 $y^{(n)} = (2^n x^2 + n2^n x + (n^2-n)2^{n-2})e^{2x} = 2^{n-2} (4x^2 + 4nx + n^2-n)e^{2x}$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^{n-2} (4x^2 + 4nx + n^2-n)e^{2x}$