与えられた8個の関数について、n次導関数（n ≧ 1）を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた8個の関数について、n次導関数（n ≧ 1）を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{1+x}$ の場合:

$y = (1+x)^{-1}$ と書き換えます。

1階微分: $y' = -1(1+x)^{-2}$

2階微分: $y'' = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

3階微分: $y''' = (2)(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

一般的に、n階微分は次のようになります。

$y^{(n)} = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(2) $y = \log(1-x)$ の場合:

1階微分: $y' = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

2階微分: $y'' = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

3階微分: $y''' = -(-2)(-1)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

一般的に、n階微分は次のようになります。

$y^{(n)} = -(n-1)!(1-x)^{-n} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y = (1+x)^a$ の場合:

1階微分: $y' = a(1+x)^{a-1}$

2階微分: $y'' = a(a-1)(1+x)^{a-2}$

3階微分: $y''' = a(a-1)(a-2)(1+x)^{a-3}$

一般的に、n階微分は次のようになります。

$y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1)(1+x)^{a-n}$

(4) $y = x^2 e^{2x}$ の場合:

ライプニッツの公式を使います。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u = x^2$、$v = e^{2x}$ とします。

$u' = 2x$、$u'' = 2$、$u^{(k)} = 0$ (for $k \geq 3$)

$v^{(n)} = 2^n e^{2x}$

$y^{(n)} = \binom{n}{0}x^2 2^n e^{2x} + \binom{n}{1}2x 2^{n-1} e^{2x} + \binom{n}{2}2 \cdot 2^{n-2} e^{2x}$

$= 2^{n-2}e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y = 3^x (x^2+x)$ の場合:

ライプニッツの公式を使います。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u = x^2 + x$、$v = 3^x$ とします。

$u' = 2x + 1$、$u'' = 2$、$u^{(k)} = 0$ (for $k \geq 3$)

$v^{(n)} = (\log 3)^n 3^x$

$y^{(n)} = \binom{n}{0}(x^2+x)(\log 3)^n 3^x + \binom{n}{1}(2x+1)(\log 3)^{n-1} 3^x + \binom{n}{2}2 (\log 3)^{n-2} 3^x$

$= 3^x (\log 3)^{n-2} [(x^2+x)(\log 3)^2 + n(2x+1)(\log 3) + n(n-1)]$

(6) $y = x^2 \cos(2x)$ の場合:

ライプニッツの公式を使います。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u = x^2$、$v = \cos(2x)$ とします。

$u' = 2x$、$u'' = 2$、$u^{(k)} = 0$ (for $k \geq 3$)

$v^{(n)} = 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2})$

$y^{(n)} = \binom{n}{0}x^2 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1}2x 2^{n-1} \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \binom{n}{2}2 \cdot 2^{n-2} \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$= 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})]$

(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$ の場合:

$y = \frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1})$

$y^{(n)} = \frac{1}{3} [(-1)^n n! (x-2)^{-(n+1)} - (-1)^n n! (x+1)^{-(n+1)}] = \frac{(-1)^n n!}{3} [\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}]$

(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$ の場合:

ライプニッツの公式を使います。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u = e^x$、$v = (1-x)^{-1}$ とします。

$u^{(k)} = e^x$

$v' = (1-x)^{-2}$

$v'' = 2(1-x)^{-3}$

$v''' = 6(1-x)^{-4}$

$v^{(n)} = n! (1-x)^{-(n+1)}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} e^x (n-k)! (1-x)^{-(n-k+1)}$

$= e^x \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! (n-k)!} (n-k)! (1-x)^{-(n-k+1)}$

$= n! e^x \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k! (1-x)^{n-k+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(2) $y^{(n)} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1)(1+x)^{a-n}$

(4) $y^{(n)} = 2^{n-2}e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y^{(n)} = 3^x (\log 3)^{n-2} [(x^2+x)(\log 3)^2 + n(2x+1)(\log 3) + n(n-1)]$

(6) $y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})]$

(7) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} [\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}]$

(8) $y^{(n)} = n! e^x \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k! (1-x)^{n-k+1}}$