問題2.3の(4)について、関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数を求める。ただし、$n \geq 1$ である。

1. 問題の内容

問題2.3の(4)について、関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数を求める。ただし、$n \geq 1$ である。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の1次、2次、3次導関数を計算し、規則性を見つける。

$y = x^2 e^{2x}$

$y' = (x^2)'e^{2x} + x^2 (e^{2x})' = 2x e^{2x} + x^2 (2e^{2x}) = (2x^2 + 2x)e^{2x}$

$y'' = (2x^2 + 2x)' e^{2x} + (2x^2 + 2x) (e^{2x})' = (4x + 2)e^{2x} + (2x^2 + 2x) (2e^{2x}) = (4x^2 + 8x + 2) e^{2x}$

$y''' = (4x^2 + 8x + 2)' e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2) (e^{2x})' = (8x + 8)e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2)(2e^{2x}) = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$

$y' = (2x^2 + 2x) e^{2x} = (2x^2 + 2\cdot 1 x + 0) e^{2x}$

$y'' = (4x^2 + 8x + 2) e^{2x} = (2^2x^2 + 2^2\cdot 2 x + 2\cdot 1) e^{2x}$

$y''' = (8x^2 + 24x + 12) e^{2x} = (2^3 x^2 + 2^3\cdot 3 x + 2^2\cdot 3) e^{2x}$

ここで、$y^{(n)} = e^{2x}(a_n x^2 + b_n x + c_n)$ と仮定する。

$y^{(n+1)} = e^{2x} (2a_n x^2 + (2b_n + 2a_n) x + (2c_n + b_n))$

二項定理を用いるアプローチをする。

$y = x^2 e^{2x}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (e^{2x})^{(n-k)}$

$= \binom{n}{0} x^2 (2^{n} e^{2x}) + \binom{n}{1} 2x (2^{n-1}e^{2x}) + \binom{n}{2} 2 (2^{n-2}e^{2x})$

$= x^2 2^n e^{2x} + n (2x) 2^{n-1} e^{2x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 (2^{n-2} e^{2x})$

$= 2^{n-2} e^{2x} (4x^2 + 4nx + n(n-1))$

$= 2^{n-2} e^{2x} (4x^2 + 4nx + n^2 - n)$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^{n-2} e^{2x} (4x^2 + 4nx + n^2 - n)$