関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数（$n \geq 1$）を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数（$n \geq 1$）を求めます。

2. 解き方の手順

まず、ライプニッツの公式を適用します。ライプニッツの公式とは、2つの関数の積の $n$ 次導関数を求めるための公式で、以下のように表されます。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

ここで、$u^{(n-k)}$は $u$ の $n-k$ 次導関数、$v^{(k)}$は $v$ の $k$ 次導関数、${n \choose k}$は二項係数を表します。

今回は、$u = x^2$、$v = e^{2x}$ とおきます。

$u = x^2$ の導関数を計算します。

$u' = 2x$

$u'' = 2$

$u^{(3)} = 0$

以降の導関数もすべて 0 です。

$v = e^{2x}$ の導関数を計算します。

$v' = 2e^{2x}$

$v'' = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

$v^{(3)} = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

一般に、$v^{(k)} = 2^k e^{2x}$ となります。

ライプニッツの公式に当てはめます。

$$y^{(n)} = (x^2 e^{2x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (x^2)^{(n-k)} (e^{2x})^{(k)}$$

$u^{(n-k)}$ が 0 でないのは $n-k = 0, 1, 2$ の場合のみなので、$k = n, n-1, n-2$ の場合に絞られます。

したがって、総和の範囲は $k=n, n-1, n-2$ となります。$k$が負になることはないので、これらの式は $n \ge 2$ でのみ有効です。$n=1$の場合は別途計算します。

$$y^{(n)} = {n \choose n} (x^2)^{(0)} (e^{2x})^{(n)} + {n \choose n-1} (x^2)^{(1)} (e^{2x})^{(n-1)} + {n \choose n-2} (x^2)^{(2)} (e^{2x})^{(n-2)}$$

$$y^{(n)} = {n \choose n} x^2 2^n e^{2x} + {n \choose n-1} (2x) 2^{n-1} e^{2x} + {n \choose n-2} (2) 2^{n-2} e^{2x}$$

ここで、二項係数を計算します。

${n \choose n} = 1$

${n \choose n-1} = n$

${n \choose n-2} = \frac{n(n-1)}{2}$

上記の二項係数の値を代入すると、

$$y^{(n)} = 1 \cdot x^2 \cdot 2^n e^{2x} + n \cdot (2x) \cdot 2^{n-1} e^{2x} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot 2^{n-2} e^{2x}$$

$$y^{(n)} = x^2 2^n e^{2x} + n x 2^n e^{2x} + n(n-1) 2^{n-2} e^{2x}$$

$$y^{(n)} = 2^{n-2} e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$$

$n=1$の時、$y' = 2xe^{2x} + 2x^2e^{2x} = e^{2x}(2x^2 + 2x)$.

上記の公式に $n=1$ を代入すると、$2^{-1}e^{2x}(4x^2+4x+0) = e^{2x}(2x^2+2x)$となり、一致する。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^{n-2} e^{2x} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$