与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です ($n \geq 1$)。具体的には、以下の8つの関数について、$n$次導関数を求める必要があります。 (1) $y = \frac{1}{1+x}$ (2) $y = \log(1-x)$ (3) $y = (1+x)^a$ (4) $y = x^2 e^{2x}$ (5) $y = 3^x (x^2 + x)$ (6) $y = x^2 \cos(2x)$ (7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$ (8) $y = \frac{e^x}{1-x}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です ($n \geq 1$)。具体的には、以下の8つの関数について、$n$次導関数を求める必要があります。

(1) $y = \frac{1}{1+x}$

(2) $y = \log(1-x)$

(3) $y = (1+x)^a$

(4) $y = x^2 e^{2x}$

(5) $y = 3^x (x^2 + x)$

(6) $y = x^2 \cos(2x)$

(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$

(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$y' = (-1)(1+x)^{-2}$

$y'' = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

$y''' = (-1)(-2)(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

一般的に、$y^{(n)} = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$

(2) $y = \log(1-x)$

$y' = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$y'' = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

$y''' = -(-1)(-2)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

一般的に、$y^{(n)} = -(n-1)! (1-x)^{-n}$

(3) $y = (1+x)^a$

$y' = a (1+x)^{a-1}$

$y'' = a(a-1) (1+x)^{a-2}$

$y''' = a(a-1)(a-2) (1+x)^{a-3}$

一般的に、$y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1) (1+x)^{a-n}$

(4) $y = x^2 e^{2x}$

$y' = 2x e^{2x} + 2x^2 e^{2x} = (2x^2 + 2x) e^{2x}$

$y'' = (4x + 2) e^{2x} + 2 (2x^2 + 2x) e^{2x} = (4x^2 + 8x + 2) e^{2x}$

$y''' = (8x + 8) e^{2x} + 2 (4x^2 + 8x + 2) e^{2x} = (8x^2 + 24x + 12) e^{2x}$

ライプニッツの公式を使うと、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (e^{2x})^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 2^n e^{2x} + \binom{n}{1} 2x 2^{n-1} e^{2x} + \binom{n}{2} 2 2^{n-2} e^{2x}$

$y^{(n)} = e^{2x} 2^{n-2} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y = 3^x (x^2 + x)$

$y = (x^2 + x) e^{x\log 3}$

ライプニッツの公式を使うと、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} (x^2+x)^{(k)} (e^{x\log 3})^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} (x^2+x) (\log 3)^n e^{x\log 3} + \binom{n}{1} (2x+1) (\log 3)^{n-1} e^{x\log 3} + \binom{n}{2} 2 (\log 3)^{n-2} e^{x\log 3}$

$y^{(n)} = 3^x [ (x^2+x)(\log 3)^n + n(2x+1)(\log 3)^{n-1} + n(n-1)(\log 3)^{n-2} ]$

(6) $y = x^2 \cos(2x)$

ライプニッツの公式を使うと、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (\cos(2x))^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 (2)^{n} \cos(2x+\frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} 2x (2)^{n-1} \cos(2x+\frac{(n-1)\pi}{2}) + \binom{n}{2} 2 (2)^{n-2} \cos(2x+\frac{(n-2)\pi}{2})$

$y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x+\frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x+\frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x+\frac{(n-2)\pi}{2}) ]$

(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1})$

$y = \frac{1}{3} [(x-2)^{-1} - (x+1)^{-1}]$

$y^{(n)} = \frac{1}{3} [(-1)^n n! (x-2)^{-n-1} - (-1)^n n! (x+1)^{-n-1}] = \frac{(-1)^n n!}{3} [(x-2)^{-n-1} - (x+1)^{-n-1}]$

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} [\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} ]$

(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$

$y' = \frac{e^x (1-x) - e^x (-1)}{(1-x)^2} = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2} = \frac{e^x(2-x)}{(1-x)^2}$

$y = e^x \cdot (1-x)^{-1}$

ライプニッツの公式を使うと、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (e^x)^{(k)} ((1-x)^{-1})^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} e^x (-1)^{n-k} (n-k)! (1-x)^{-(n-k+1)}$

$y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{(-1)^{n-k} (n-k)!}{(1-x)^{n-k+1}} = e^x \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^{n-k} (n-k)!}{(1-x)^{n-k+1}}$

$y^{(n)} = e^x n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n-k}}{k! (1-x)^{n-k+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(2) $y^{(n)} = \frac{-(n-1)!}{(1-x)^n}$

(3) $y^{(n)} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1) (1+x)^{a-n}$

(4) $y^{(n)} = e^{2x} 2^{n-2} [4x^2 + 4nx + n(n-1)]$

(5) $y^{(n)} = 3^x [ (x^2+x)(\log 3)^n + n(2x+1)(\log 3)^{n-1} + n(n-1)(\log 3)^{n-2} ]$

(6) $y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x+\frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x+\frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x+\frac{(n-2)\pi}{2}) ]$

(7) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} [\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} ]$

(8) $y^{(n)} = e^x n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n-k}}{k! (1-x)^{n-k+1}}$