極限 $\lim_{x \to -1} \frac{ax^2+bx+2}{x+1} = 1$ が成り立つように、$a$と$b$の値を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -1} \frac{ax^2+bx+2}{x+1} = 1$ が成り立つように、$a$と$b$の値を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$x \to -1$のとき、分母が$0$に近づくので、極限が存在するためには分子も$0$に近づく必要があります。つまり、

$a(-1)^2+b(-1)+2=0$

$a - b + 2 = 0$

$b = a + 2$

この関係式を元の式に代入します。

$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2+(a+2)x+2}{x+1} = 1$

分子を因数分解します。

$ax^2 + (a+2)x + 2 = ax^2 + ax + 2x + 2 = ax(x+1) + 2(x+1) = (ax+2)(x+1)$

したがって、

$\lim_{x \to -1} \frac{(ax+2)(x+1)}{x+1} = 1$

$x \neq -1$なので、$x+1$で約分できます。

$\lim_{x \to -1} (ax+2) = 1$

$a(-1) + 2 = 1$

$-a + 2 = 1$

$a = 1$

$b = a + 2 = 1 + 2 = 3$

よって、$a=1$、$b=3$となります。

3. 最終的な答え

(a, b) = (1, 3)

選択肢の2が正解です。