$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母は $x^2 - 1 \to 0$ に収束します。極限値が存在するためには、分子も $0$ に収束する必要があります。したがって、

$\sqrt{1+a}+b=0$

が成り立ちます。これから、$b = -\sqrt{1+a}$ となります。

次に、与えられた極限の式に代入し、式を変形していきます。

$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{1+a}}{x^2-1} = \frac{1}{8}$

分子の有理化を行います。

$\lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x+a}-\sqrt{1+a})(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})}{(x^2-1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$\lim_{x\to 1} \frac{x+a-(1+a)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$x \neq 1$ のとき、$x-1$ で約分できます。

$\lim_{x\to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$x \to 1$ の極限を取ると、

$\frac{1}{(1+1)(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{2(2\sqrt{1+a})} = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{4\sqrt{1+a}} = \frac{1}{8}$

$\sqrt{1+a} = 2$

$1+a = 4$

$a = 3$

$b = -\sqrt{1+a} = -\sqrt{1+3} = -\sqrt{4} = -2$

したがって、$a = 3$、$b = -2$ となります。

3. 最終的な答え

(a, b) = (3, -2)