次の極限が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求めよ。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$

1. 問題の内容

次の極限が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求めよ。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$

2. 解き方の手順

極限が収束するためには、分母が0に近づくとき、分子も0に近づく必要がある。

$x \to 2$ のとき、分母 $x-2 \to 0$ なので、分子 $\sqrt{ax+3}-1$ も0に近づく必要がある。

$\sqrt{2a+3} - 1 = 0$

$\sqrt{2a+3} = 1$

$2a+3 = 1$

$2a = -2$

$a = -1$

したがって、$a=-1$ のとき、極限は次のように計算できる。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x+3}-1}{x-2}$

分子の有理化を行う。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x+3}-1}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{-x+3}-1)(\sqrt{-x+3}+1)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(-x+3)-1}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-x+2}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x+3}+1}$

$x=2$を代入すると

$\frac{-1}{\sqrt{-2+3}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1}+1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$ のとき、極限値は $-\frac{1}{2}$ である。