定積分 $\int_{1}^{3} \frac{2+4x^3}{x+x^4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} \frac{2+4x^3}{x+x^4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。分母を $x$ でくくると、

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\frac{2+4x^3}{x+x^4} = \frac{2+4x^3}{x(1+x^3)}

$$$$

となります。

次に、$1+x^3$ を $t$ と置換します。すると、$\frac{dt}{dx} = 3x^2$ となります。しかし、分子には $4x^3$ があるので、この置換は直接的には使えません。

そこで、与えられた積分を部分分数分解で計算することを試みます。

$$$$

\frac{2+4x^3}{x(1+x^3)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx^2+Cx+D}{1+x^3}

$$$$

とおきます。両辺に $x(1+x^3)$ を掛けると、

$$$$

2+4x^3 = A(1+x^3) + (Bx^2+Cx+D)x = A + Ax^3 + Bx^3 + Cx^2 + Dx

$$$$

となります。両辺の係数を比較すると、

\begin{align*}

A &= 2 \\

C &= 0 \\

D &= 0 \\

A+B &= 4

\end{align*}

したがって、$A=2$, $C=0$, $D=0$, $B=2$ となります。

よって、

$$$$

\frac{2+4x^3}{x(1+x^3)} = \frac{2}{x} + \frac{2x^2}{1+x^3}

$$$$

したがって、

$$$$

\int_{1}^{3} \frac{2+4x^3}{x+x^4} dx = \int_{1}^{3} \left( \frac{2}{x} + \frac{2x^2}{1+x^3} \right) dx = 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx + 2 \int_{1}^{3} \frac{x^2}{1+x^3} dx

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ここで、$u = 1+x^3$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ なので、$\frac{2}{3} du = 2x^2 dx$ となります。

$x=1$ のとき $u=2$ であり、$x=3$ のとき $u=28$ です。したがって、

\begin{align*}

\int_{1}^{3} \frac{2+4x^3}{x+x^4} dx &= 2 \left[ \ln |x| \right]_{1}^{3} + \frac{2}{3} \int_{2}^{28} \frac{1}{u} du \\

&= 2(\ln 3 - \ln 1) + \frac{2}{3} \left[ \ln |u| \right]_{2}^{28} \\

&= 2\ln 3 + \frac{2}{3}(\ln 28 - \ln 2) \\

&= 2\ln 3 + \frac{2}{3}\ln \frac{28}{2} \\

&= 2\ln 3 + \frac{2}{3}\ln 14 \\

&= 2\ln 3 + \frac{2}{3}\ln (2 \cdot 7) \\

&= 2\ln 3 + \frac{2}{3}(\ln 2 + \ln 7)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$2\ln 3 + \frac{2}{3}(\ln 14)$ または $2\ln 3 + \frac{2}{3}\ln 2 + \frac{2}{3}\ln 7$