(1) 関数 $y = \frac{2}{3}x^3 + x^2 - 4x + \frac{1}{3}$ の増減表を作り、グラフを描け。 (2) 関数 $y = x^2$ について、$x = -3$ における接線の方程式を求めよ。 (3) 不等式 $-2x^2 - 11x + 4 < 0$ の解を求めよ。 (4) 方程式 $x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 3 = 2x + 10$ の実数解の個数を求めよ。 (5) 関数 $y = -x^3 + 3x$ について、区間 $-3 \le x \le \sqrt{3}$ における最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。 (6) 数直線上を移動する2点PとQがある。いま、原点を出発してから $t$ [s] 後の座標は、点Pが $f(t) = 3t^2 - 6t$, 点Qが $g(t) = -t^3 + 12t$ であるという。 (i) $y = f(t)$ と $y = g(t)$ のグラフを同一座標平面に描け。 (ii) 原点を出発してから点Pと点Qが再び同一の位置になるのは何s後か。また、その位置の原点からの距離を求めよ。

以下に、画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{2}{3}x^3 + x^2 - 4x + \frac{1}{3}$ の増減表を作り、グラフを描け。

(2) 関数 $y = x^2$ について、$x = -3$ における接線の方程式を求めよ。

(3) 不等式 $-2x^2 - 11x + 4 < 0$ の解を求めよ。

(4) 方程式 $x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 3 = 2x + 10$ の実数解の個数を求めよ。

(5) 関数 $y = -x^3 + 3x$ について、区間 $-3 \le x \le \sqrt{3}$ における最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。

(6) 数直線上を移動する2点PとQがある。いま、原点を出発してから $t$ [s] 後の座標は、点Pが $f(t) = 3t^2 - 6t$, 点Qが $g(t) = -t^3 + 12t$ であるという。

(i) $y = f(t)$ と $y = g(t)$ のグラフを同一座標平面に描け。

(ii) 原点を出発してから点Pと点Qが再び同一の位置になるのは何s後か。また、その位置の原点からの距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2}{3}x^3 + x^2 - 4x + \frac{1}{3}$

$y' = 2x^2 + 2x - 4 = 2(x^2 + x - 2) = 2(x+2)(x-1)$

$y' = 0$ となる $x$ は $x = -2, 1$。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -2 | ... | 1 | ... |

|-----|------|-----|-----|-----|-----|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = -2$ のとき $y = \frac{2}{3}(-8) + 4 + 8 + \frac{1}{3} = -\frac{16}{3} + 12 + \frac{1}{3} = \frac{-16+36+1}{3} = \frac{21}{3} = 7$

$x = 1$ のとき $y = \frac{2}{3} + 1 - 4 + \frac{1}{3} = 1 + 1 - 4 = -2$

よって、極大値は $x = -2$ のとき $7$, 極小値は $x = 1$ のとき $-2$。

グラフは、これらの情報と $x = 0$ のとき $y = \frac{1}{3}$ を用いて描ける。

(2) $y = x^2$

$y' = 2x$

$x = -3$ における接線の傾きは $y'(-3) = 2(-3) = -6$。

$x = -3$ のとき $y = (-3)^2 = 9$。

よって、接線の方程式は

$y - 9 = -6(x + 3)$

$y = -6x - 18 + 9$

$y = -6x - 9$

(3) $-2x^2 - 11x + 4 < 0$

$2x^2 + 11x - 4 > 0$

$x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4(2)(-4)}}{4} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 32}}{4} = \frac{-11 \pm \sqrt{153}}{4}$

よって、$x < \frac{-11 - \sqrt{153}}{4}$ または $x > \frac{-11 + \sqrt{153}}{4}$

(4) $x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 3 = 2x + 10$

$x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 10x - 7 = 0$

$(x-1)(x^3-3x^2-5x+7) = 0$

$f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 10x - 7$

$f(-2) = 16 + 32 - 8 - 20 - 7 = 13$

$f(-1) = 1 + 4 - 2 - 10 - 7 = -14$

$f(0) = -7$

$f(1) = 1 - 4 - 2 + 10 - 7 = -2$

$f(2) = 16 - 32 - 8 + 20 - 7 = -11$

$f(3) = 81 - 108 - 18 + 30 - 7 = -22$

$f(4) = 256 - 256 - 32 + 40 - 7 = -1$

$f(5) = 625 - 500 - 50 + 50 - 7 = 118$

少なくとも２つの実数解を持つ。

(5) $y = -x^3 + 3x$

$y' = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = -3(x-1)(x+1)$

$y' = 0$ となる $x$ は $x = -1, 1$。

区間 $-3 \le x \le \sqrt{3}$ で考える。

$x = -3$ のとき $y = -(-27) - 9 = 27 - 9 = 18$

$x = -1$ のとき $y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$

$x = 1$ のとき $y = -1 + 3 = 2$

$x = \sqrt{3}$ のとき $y = -3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0$

よって、最大値は $x = -3$ のとき $18$, 最小値は $x = -1$ のとき $-2$。

(6)

(i) $f(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t - 2)$ と $g(t) = -t^3 + 12t = t(-t^2 + 12)$ のグラフを描く。

$f(t)$ は下に凸の放物線で、頂点は $(1, -3)$, $t = 0, 2$ で $f(t) = 0$。

$g(t)$ は $t = 0$ で $g(t) = 0$, $t = \pm 2\sqrt{3}$ で $g(t) = 0$。

(ii) $f(t) = g(t)$ となる $t$ を求める。

$3t^2 - 6t = -t^3 + 12t$

$t^3 + 3t^2 - 18t = 0$

$t(t^2 + 3t - 18) = 0$

$t(t + 6)(t - 3) = 0$

$t = 0, 3, -6$

$t \ge 0$ より、$t = 0, 3$。

$t = 3$ s 後。

$t = 3$ のとき $f(3) = 3(9) - 6(3) = 27 - 18 = 9$。

よって、原点からの距離は $9$。

3. 最終的な答え

(1) 増減表は省略。極大値は $x = -2$ のとき $7$, 極小値は $x = 1$ のとき $-2$。グラフは省略。

(2) $y = -6x - 9$

(3) $x < \frac{-11 - \sqrt{153}}{4}$ または $x > \frac{-11 + \sqrt{153}}{4}$

(4) 少なくとも2個

(5) 最大値: $18$ ($x = -3$ のとき), 最小値: $-2$ ($x = -1$ のとき)

(6) (i) グラフは省略。 (ii) $3$ s 後、距離は $9$。