極限 $\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x-2} = 1$ が成り立つような、$a$と$b$の値を求める。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x-2} = 1$ が成り立つような、$a$と$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$のとき、分母が$0$に近づくので、極限が存在するためには、分子も$0$に近づく必要がある。したがって、

$4a + 2b + 1 = 0$

が成り立つ必要がある。これにより、$b$を$a$で表すことができる。

$2b = -4a - 1$

$b = -2a - \frac{1}{2}$

次に、$ax^2 + bx + 1$ に $b = -2a - \frac{1}{2}$ を代入すると、

$ax^2 + (-2a - \frac{1}{2})x + 1 = ax^2 - 2ax - \frac{1}{2}x + 1$

ここで、$x=2$を代入すると $4a - 4a - 1 + 1 = 0$ となることが確認できる。

次に、$ax^2 + bx + 1$を因数分解することを考える。$x-2$を因数に持つはずなので、

$ax^2 + bx + 1 = (x-2)(ax+c)$とおく。すると、

$ax^2 + bx + 1 = ax^2 + (c-2a)x - 2c$

したがって、$b = c - 2a$ かつ $1 = -2c$ が成り立つ。$c = -\frac{1}{2}$ であるから、

$b = - \frac{1}{2} - 2a$ となる。

元の式は、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(ax - \frac{1}{2})}{x-2} = \lim_{x \to 2} (ax - \frac{1}{2}) = 2a - \frac{1}{2}$

これが$1$に等しいので、

$2a - \frac{1}{2} = 1$

$2a = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2a - \frac{1}{2} = -2(\frac{3}{4}) - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$

よって、$a = \frac{3}{4}$, $b = -2$

3. 最終的な答え

(a, b) = ($\frac{3}{4}$, -2)