以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母にそれぞれ共役な式を掛けます。

分子の共役: $\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}$

分母の共役: $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x}$

与式は、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x - (1+x^2))(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(1-x^2 - (1-x))(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(x - x^2)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(-x^2 + x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - x)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{x(1 - x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}}$

$x \to 0$ のとき、

$\frac{\sqrt{1-0^2} + \sqrt{1-0}}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1+0^2}} = \frac{\sqrt{1} + \sqrt{1}}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{1 + 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

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