与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、この極限をそのまま計算しようとすると、分母が0に近づくため不定形になります。そこで、分子を有理化します。

分子と分母に $\sqrt{x+7} + 3$ をかけます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7} - 3)(\sqrt{x+7} + 3)}{(x-2)(\sqrt{x+7} + 3)}$

分子を展開すると、 $(\sqrt{x+7} - 3)(\sqrt{x+7} + 3) = (x+7) - 9 = x - 2$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7} + 3)}$

$x \neq 2$ のとき、$\frac{x-2}{x-2} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7} + 3}$

ここで、$x$ を 2 に近づけると、

$\frac{1}{\sqrt{2+7} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$