以下の極限を求める問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right) $$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。

$$2 - \frac{6}{x+3} = \frac{2(x+3) - 6}{x+3} = \frac{2x+6-6}{x+3} = \frac{2x}{x+3}$$

したがって、求める極限は

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{2x}{x+3} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(x+3)}$$

$x \ne 0$ であるから、$x$ で約分できます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3}$$

$x \to 0$ のとき、$x+3 \to 3$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3} = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$