$\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x - 3} - 1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x - 3} - 1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、そのまま $x=4$ を代入すると、$\frac{0}{0}$ の不定形になるので、式を変形して極限を求めます。分母の有理化を行います。

$\frac{x - 4}{\sqrt{x - 3} - 1} = \frac{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)}{(\sqrt{x - 3} - 1)(\sqrt{x - 3} + 1)} = \frac{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)}{(x - 3) - 1} = \frac{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)}{x - 4}$

ここで、$x \ne 4$ であることに注意すると、$x - 4$ で約分できます。

$\frac{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)}{x - 4} = \sqrt{x - 3} + 1$

よって、

$\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x - 3} - 1} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x - 3} + 1) = \sqrt{4 - 3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

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