$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n$ に共役な式である$\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n)(\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n)}{\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n}$

分子を展開すると、

$(4n^2 + 3n) - (2n)^2 = 4n^2 + 3n - 4n^2 = 3n$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n}$

分母と分子を $n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{4 + \frac{3}{n}} + 2}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{4 + \frac{3}{n}} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$