与えられた数列の極限値を求める問題です。具体的には、$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 + 5}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値を求める問題です。具体的には、$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 + 5}$ を計算します。

2. 解き方の手順

数列の極限を求める一般的な方法は、分子と分母をそれぞれ $n$ の最高次数で割ることです。この場合、$n^2$ で分子と分母を割ります。

$\frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 + 5} = \frac{n^2/n^2 + 2n/n^2 + 3/n^2}{4n^2/n^2 + 5/n^2} = \frac{1 + 2/n + 3/n^2}{4 + 5/n^2}$

$n$ が無限大に近づくとき、$2/n$、$3/n^2$、$5/n^2$ はすべて0に近づきます。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2/n + 3/n^2}{4 + 5/n^2} = \frac{1 + 0 + 0}{4 + 0} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$