与えられた数列 $\frac{3}{1}, \frac{5}{3}, \frac{7}{5}, \frac{9}{7}, ..., \frac{2n+1}{2n-1}, ...$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{3}{1}, \frac{5}{3}, \frac{7}{5}, \frac{9}{7}, ..., \frac{2n+1}{2n-1}, ...$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の一般項 $\frac{2n+1}{2n-1}$ を $a_n$ とします。

$a_n = \frac{2n+1}{2n-1}$

この数列の極限を求めるために、n を無限大に近づけたときの $a_n$ の値を計算します。

$a_n$ の分子と分母を $n$ で割ります。

$a_n = \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}}$

$n$ が無限大に近づくと、$\frac{1}{n}$ は0に近づきます。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、数列の極限は1です。

3. 最終的な答え

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