与えられた極限値を求める問題です。具体的には、 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n}}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n}} = \frac{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}}{(\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-2n})(\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n})}$

$= \frac{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}}{(n^2+2n) - (n^2-2n)}$

$= \frac{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-2n}}{4n}$

$= \frac{\sqrt{n^2(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n^2(1-\frac{2}{n})}}{4n}$

$= \frac{n\sqrt{1+\frac{2}{n}} + n\sqrt{1-\frac{2}{n}}}{4n}$

$= \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + \sqrt{1-\frac{2}{n}}}{4}$

次に、nを無限大に近づけます。$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + \sqrt{1-\frac{2}{n}}}{4} = \frac{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$