以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2}$解析学極限数列e2025/7/301. 問題の内容以下の極限を求める問題です。limn→∞(1−1n3+n+1)n2\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2}limn→∞(1−n3+n+11)n22. 解き方の手順この極限は、1∞1^\infty1∞ の不定形なので、eee の定義を利用します。x=n3+n+1x = n^3 + n + 1x=n3+n+1 とおくと、n→∞n \to \inftyn→∞ のとき、x→∞x \to \inftyx→∞ です。また、1x=1n3+n+1\frac{1}{x} = \frac{1}{n^3 + n + 1}x1=n3+n+11 となります。まず、与えられた式を次のように変形します。limn→∞(1−1n3+n+1)n2=limn→∞(1−1x)n2\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2} = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{n^2}limn→∞(1−n3+n+11)n2=limn→∞(1−x1)n2eeeの定義を利用するために、指数部分に1−1/x=−x=−(n3+n+1)\frac{1}{-1/x}=-x=-(n^3+n+1)−1/x1=−x=−(n3+n+1)が現れるように変形します。limn→∞[(1−1n3+n+1)−(n3+n+1)]n2−(n3+n+1)\lim_{n\to\infty} \left[\left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{-(n^3+n+1)}\right]^{\frac{n^2}{-(n^3+n+1)}}limn→∞[(1−n3+n+11)−(n3+n+1)]−(n3+n+1)n2limn→∞(1−1n3+n+1)−(n3+n+1)=e\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{-(n^3+n+1)} = elimn→∞(1−n3+n+11)−(n3+n+1)=eであるから、limn→∞(1−1n3+n+1)n2=limn→∞e−n2n3+n+1=elimn→∞−n2n3+n+1\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2} = \lim_{n\to\infty} e^{\frac{-n^2}{n^3+n+1}} = e^{\lim_{n\to\infty} \frac{-n^2}{n^3+n+1}}limn→∞(1−n3+n+11)n2=limn→∞en3+n+1−n2=elimn→∞n3+n+1−n2limn→∞−n2n3+n+1\lim_{n\to\infty} \frac{-n^2}{n^3+n+1}limn→∞n3+n+1−n2 の極限を計算します。分子と分母を n3n^3n3 で割ると、limn→∞−n2n3+n+1=limn→∞−1n1+1n2+1n3=01+0+0=0\lim_{n\to\infty} \frac{-n^2}{n^3+n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} = \frac{0}{1+0+0} = 0limn→∞n3+n+1−n2=limn→∞1+n21+n31−n1=1+0+00=0したがって、limn→∞(1−1n3+n+1)n2=e0=1\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2} = e^0 = 1limn→∞(1−n3+n+11)n2=e0=13. 最終的な答え1