以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2}$

解析学極限数列e
2025/7/30

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。
limn(11n3+n+1)n2\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2}

2. 解き方の手順

この極限は、11^\infty の不定形なので、ee の定義を利用します。
x=n3+n+1x = n^3 + n + 1 とおくと、nn \to \infty のとき、xx \to \infty です。また、
1x=1n3+n+1\frac{1}{x} = \frac{1}{n^3 + n + 1} となります。
まず、与えられた式を次のように変形します。
limn(11n3+n+1)n2=limn(11x)n2\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2} = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{n^2}
eeの定義を利用するために、指数部分に11/x=x=(n3+n+1)\frac{1}{-1/x}=-x=-(n^3+n+1)が現れるように変形します。
limn[(11n3+n+1)(n3+n+1)]n2(n3+n+1)\lim_{n\to\infty} \left[\left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{-(n^3+n+1)}\right]^{\frac{n^2}{-(n^3+n+1)}}
limn(11n3+n+1)(n3+n+1)=e\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{-(n^3+n+1)} = e
であるから、
limn(11n3+n+1)n2=limnen2n3+n+1=elimnn2n3+n+1\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2} = \lim_{n\to\infty} e^{\frac{-n^2}{n^3+n+1}} = e^{\lim_{n\to\infty} \frac{-n^2}{n^3+n+1}}
limnn2n3+n+1\lim_{n\to\infty} \frac{-n^2}{n^3+n+1} の極限を計算します。分子と分母を n3n^3 で割ると、
limnn2n3+n+1=limn1n1+1n2+1n3=01+0+0=0\lim_{n\to\infty} \frac{-n^2}{n^3+n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} = \frac{0}{1+0+0} = 0
したがって、
limn(11n3+n+1)n2=e0=1\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n^3+n+1}\right)^{n^2} = e^0 = 1

3. 最終的な答え

1

「解析学」の関連問題

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tanh x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ の値を計算します。

極限テイラー展開ロピタルの定理tanh指数関数
2025/7/31

次の関数を積分する問題です。 (1) $x\log|x|$ (2) $x\cos x$ (3) $x^2e^{-x}$ (4) $\sin^{-1}x$ (5) $\tan^{-1}x$ (6) $e...

積分部分積分不定積分対数関数三角関数指数関数逆三角関数
2025/7/31

与えられた定積分 $\int_0^3 [x]^2 dx$ と $\int_0^3 x[x] dx$ の値を計算します。ここで$[x]$はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を意味します。

定積分ガウス記号積分
2025/7/31

以下の6つの関数を積分する問題です。 (1) $(2x+3)^7$ (2) $x(x^2 + 1)^8$ (3) $\sin^4 x \cos x$ (4) $\frac{x}{(x^2 + 1)^3...

積分置換積分不定積分三角関数部分分数分解arctan
2025/7/31

与えられた積分 $\int e^{2x} \sin x \, dx$ を計算します。

積分部分積分指数関数三角関数
2025/7/31

与えられた6つの関数を積分する問題です。 (1) $\int (2x+3)^7 dx$ (2) $\int x(x^2+1)^8 dx$ (3) $\int \sin^4 x \cos x dx$ (...

積分置換積分不定積分三角関数
2025/7/31

$\int x^2 \log x \, dx$ を計算する問題です。

積分部分積分対数関数
2025/7/31

定積分 $\int_{-1}^2 (x+1)^2(x-2)^3 dx$ を計算します。

定積分多項式積分
2025/7/31

与えられた関数 $f(x, y) = x^{\frac{1}{4}}y - x^{\frac{1}{3}}y$ の二階偏導関数 $f_{x}$, $f_{y}$, $f_{xx}$, $f_{yy}$...

偏微分偏導関数多変数関数
2025/7/31

次の微分方程式の解 $y = y(t)$ をラプラス変換を用いて求める問題です。 微分方程式: $y'' - 3y' + 2y = e^{2t}$ 初期条件: $y(0) = 2$, $y'(0) =...

微分方程式ラプラス変換初期条件逆ラプラス変換
2025/7/31