以下の6つの関数を積分する問題です。 (1) $(2x+3)^7$ (2) $x(x^2 + 1)^8$ (3) $\sin^4 x \cos x$ (4) $\frac{x}{(x^2 + 1)^3}$ (5) $\frac{x}{x^2 - x + 1}$ (6) $\frac{x}{\sqrt{3 + 2x - x^2}}$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の6つの関数を積分する問題です。

(1) $(2x+3)^7$

(2) $x(x^2 + 1)^8$

(3) $\sin^4 x \cos x$

(4) $\frac{x}{(x^2 + 1)^3}$

(5) $\frac{x}{x^2 - x + 1}$

(6) $\frac{x}{\sqrt{3 + 2x - x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3)^7$

置換積分を用います。$u = 2x + 3$とすると、$du = 2dx$、つまり$dx = \frac{1}{2}du$となります。

したがって、

$\int (2x+3)^7 dx = \int u^7 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^7 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{1}{16}u^8 + C = \frac{1}{16}(2x+3)^8 + C$

(2) $x(x^2 + 1)^8$

置換積分を用います。$u = x^2 + 1$とすると、$du = 2x dx$、つまり$x dx = \frac{1}{2}du$となります。

したがって、

$\int x(x^2 + 1)^8 dx = \int u^8 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^8 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^9}{9} + C = \frac{1}{18}u^9 + C = \frac{1}{18}(x^2+1)^9 + C$

(3) $\sin^4 x \cos x$

置換積分を用います。$u = \sin x$とすると、$du = \cos x dx$となります。

したがって、

$\int \sin^4 x \cos x dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(4) $\frac{x}{(x^2 + 1)^3}$

置換積分を用います。$u = x^2 + 1$とすると、$du = 2x dx$、つまり$x dx = \frac{1}{2}du$となります。

したがって、

$\int \frac{x}{(x^2 + 1)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4}u^{-2} + C = -\frac{1}{4(x^2 + 1)^2} + C$

(5) $\frac{x}{x^2 - x + 1}$

$\int \frac{x}{x^2-x+1}dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{1}{2}}{x^2-x+1}dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2-x+1}dx$.

ここで、$x^2-x+1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$であるから、

$\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx = \frac{1}{2}\log|x^2-x+1| + C_1$.

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C_2$.

したがって、$\int \frac{x}{x^2-x+1}dx = \frac{1}{2}\log|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$.

(6) $\frac{x}{\sqrt{3 + 2x - x^2}}$

$3 + 2x - x^2 = 4 - (x^2 - 2x + 1) = 4 - (x-1)^2$

$\int \frac{x}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{4 - (x-1)^2}} dx$.

$x-1 = 2\sin\theta$とおくと、$x = 2\sin\theta+1$, $dx = 2\cos\theta d\theta$

$\int \frac{2\sin\theta+1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} 2\cos\theta d\theta = \int \frac{2\sin\theta+1}{2\cos\theta} 2\cos\theta d\theta = \int (2\sin\theta + 1) d\theta = -2\cos\theta + \theta + C$

$\sin\theta = \frac{x-1}{2}$, $\theta = \arcsin(\frac{x-1}{2})$

$\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-\frac{(x-1)^2}{4}} = \frac{\sqrt{4-(x-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{3+2x-x^2}}{2}$

$-2\frac{\sqrt{3+2x-x^2}}{2} + \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C = -\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}(2x+3)^8 + C$

(2) $\frac{1}{18}(x^2+1)^9 + C$

(3) $\frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(4) $-\frac{1}{4(x^2 + 1)^2} + C$

(5) $\frac{1}{2}\log|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

(6) $-\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$