次の関数を積分する問題です。 (1) $x\log|x|$ (2) $x\cos x$ (3) $x^2e^{-x}$ (4) $\sin^{-1}x$ (5) $\tan^{-1}x$ (6) $e^x\sin x$ (7) $xe^x\sin x$ (8) $\sin(\log x)$

1. 問題の内容

次の関数を積分する問題です。

(1) $x\log|x|$

(2) $x\cos x$

(3) $x^2e^{-x}$

(4) $\sin^{-1}x$

(5) $\tan^{-1}x$

(6) $e^x\sin x$

(7) $xe^x\sin x$

(8) $\sin(\log x)$

2. 解き方の手順

(1) $x\log|x|$

部分積分を行います。$u = \log|x|$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

よって、

$\int x\log|x| dx = \frac{x^2}{2}\log|x| - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2}\log|x| - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2}\log|x| - \frac{x^2}{4} + C$

(2) $x\cos x$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

よって、

$\int x\cos x dx = x\sin x - \int \sin x dx = x\sin x + \cos x + C$

(3) $x^2e^{-x}$

部分積分を2回行います。

まず、$u = x^2$, $dv = e^{-x}dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int x^2e^{-x}dx = -x^2e^{-x} - \int -e^{-x} \cdot 2x dx = -x^2e^{-x} + 2\int xe^{-x}dx$

次に、$\int xe^{-x}dx$ を部分積分します。$u = x$, $dv = e^{-x}dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int xe^{-x}dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

よって、

$\int x^2e^{-x}dx = -x^2e^{-x} + 2(-xe^{-x} - e^{-x}) + C = -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$

(4) $\sin^{-1}x$

部分積分を行います。$u = \sin^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となります。

$\int \sin^{-1}x dx = x\sin^{-1}x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。$t = 1-x^2$ とすると、$dt = -2x dx$ より、$-\frac{1}{2}dt = x dx$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2t^{1/2} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

よって、

$\int \sin^{-1}x dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$

(5) $\tan^{-1}x$

部分積分を行います。$u = \tan^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

$\int \tan^{-1}x dx = x\tan^{-1}x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。$t = 1+x^2$ とすると、$dt = 2x dx$ より、$\frac{1}{2}dt = x dx$ となります。

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{\frac{1}{2}}{t} dt = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2}\log|t| + C = \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

よって、

$\int \tan^{-1}x dx = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

(6) $e^x\sin x$

部分積分を2回行います。

まず、$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x\sin x dx = e^x\sin x - \int e^x\cos x dx$

次に、$\int e^x\cos x dx$ を部分積分します。$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x\cos x dx = e^x\cos x - \int e^x(-\sin x) dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x dx$

よって、

$\int e^x\sin x dx = e^x\sin x - (e^x\cos x + \int e^x\sin x dx) = e^x\sin x - e^x\cos x - \int e^x\sin x dx$

$2\int e^x\sin x dx = e^x(\sin x - \cos x) + C'$

$\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$

(7) $xe^x\sin x$

部分積分を2回行います。まず、$u = x\sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = (\sin x + x\cos x) dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x\sin x dx = e^x(x\sin x) - \int e^x(\sin x + x\cos x) dx = xe^x\sin x - \int e^x\sin x dx - \int xe^x\cos x dx$

次に、$\int xe^x\cos x dx$を部分積分します。$u=x\cos x$, $dv = e^x dx$とすると、$du = (\cos x - x\sin x) dx$, $v = e^x$となります。

$\int xe^x\cos x dx = xe^x\cos x - \int e^x(\cos x - x\sin x)dx = xe^x\cos x - \int e^x\cos x dx + \int xe^x\sin x dx$

したがって、

$\int xe^x\sin x dx = xe^x\sin x - \int e^x\sin x dx - xe^x\cos x + \int e^x\cos x dx - \int xe^x\sin x dx$

$2\int xe^x\sin x dx = xe^x\sin x - xe^x\cos x - \int e^x\sin x dx + \int e^x\cos x dx$

$2\int xe^x\sin x dx = xe^x(\sin x - \cos x) - \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + \frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x) + C'$

$2\int xe^x\sin x dx = xe^x(\sin x - \cos x) + e^x\cos x + C'$

$\int xe^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x(x\sin x - x\cos x + \cos x) + C$

(8) $\sin(\log x)$

部分積分を2回行います。まず、$u = \sin(\log x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{\cos(\log x)}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \sin(\log x) dx = x\sin(\log x) - \int x \cdot \frac{\cos(\log x)}{x} dx = x\sin(\log x) - \int \cos(\log x) dx$

次に、$\int \cos(\log x) dx$を部分積分します。$u = \cos(\log x)$, $dv = dx$とすると、$du = -\frac{\sin(\log x)}{x} dx$, $v = x$となります。

$\int \cos(\log x) dx = x\cos(\log x) - \int x \cdot \left(-\frac{\sin(\log x)}{x}\right) dx = x\cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$

したがって、

$\int \sin(\log x) dx = x\sin(\log x) - x\cos(\log x) - \int \sin(\log x) dx$

$2\int \sin(\log x) dx = x(\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C'$

$\int \sin(\log x) dx = \frac{x}{2}(\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x\log|x| dx = \frac{x^2}{2}\log|x| - \frac{x^2}{4} + C$

(2) $\int x\cos x dx = x\sin x + \cos x + C$

(3) $\int x^2e^{-x}dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$

(4) $\int \sin^{-1}x dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$

(5) $\int \tan^{-1}x dx = x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

(6) $\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$

(7) $\int xe^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x(x\sin x - x\cos x + \cos x) + C$

(8) $\int \sin(\log x) dx = \frac{x}{2}(\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C$