与えられた定積分 $\int_0^3 [x]^2 dx$ と $\int_0^3 x[x] dx$ の値を計算します。ここで$[x]$はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を意味します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^3 [x]^2 dx$ と $\int_0^3 x[x] dx$ の値を計算します。ここで$[x]$はガウス記号を表し、$x$を超えない最大の整数を意味します。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^3 [x]^2 dx$ を計算します。積分区間をガウス記号の値が変わる点で分割します。

* $0 \le x < 1$ のとき $[x] = 0$

* $1 \le x < 2$ のとき $[x] = 1$

* $2 \le x < 3$ のとき $[x] = 2$

* $x = 3$ のとき $[x] = 3$

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_0^3 [x]^2 dx = \int_0^1 0^2 dx + \int_1^2 1^2 dx + \int_2^3 2^2 dx$

$= \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 4 dx$

$= 0 + [x]_1^2 + [4x]_2^3$

$= (2-1) + (12-8)$

$= 1 + 4 = 5$

次に、$\int_0^3 x[x] dx$ を計算します。積分区間を同様に分割します。

$\int_0^3 x[x] dx = \int_0^1 x(0) dx + \int_1^2 x(1) dx + \int_2^3 x(2) dx$

$= \int_0^1 0 dx + \int_1^2 x dx + \int_2^3 2x dx$

$= 0 + [\frac{x^2}{2}]_1^2 + [x^2]_2^3$

$= (\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) + (9-4)$

$= \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{2} + \frac{10}{2} = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_0^3 [x]^2 dx = 5$

$\int_0^3 x[x] dx = \frac{13}{2}$