与えられた極限値を求める問題です。具体的には、 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tanh x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tanh x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$

の値を計算します。

2. 解き方の手順

1. 指数関数の極限を扱うために、対数をとります。$y = \left( \frac{\tanh x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ とおくと、

$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln \left( \frac{\tanh x}{x} \right)$

となります。

2. $\tanh x$ のテイラー展開（マクローリン展開）を求めます。$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$です。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4)$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4)$

$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + O(x^5) = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$\tanh x = \frac{x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)}{1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)}$

$\tanh x = \left(x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) \left(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right)^{-1}$

$\tanh x = \left(x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)\right)$

$\tanh x = x - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^5}{24} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{12} + O(x^7) = x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} + O(x^7)$

3. $\frac{\tanh x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{15} + O(x^6)$ となります。

4. $\ln \left( \frac{\tanh x}{x} \right) = \ln \left( 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{15} + O(x^6) \right)$.

$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \dots$ を用いると、

$\ln \left( \frac{\tanh x}{x} \right) = \left( - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{15} + O(x^6) \right) - \frac{1}{2} \left( - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{15} + O(x^6) \right)^2 + \dots$

$= - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{15} - \frac{x^4}{18} + O(x^6) = - \frac{x^2}{3} - \frac{11 x^4}{90} + O(x^6)$

5. $\ln y = \frac{1}{x^2} \ln \left( \frac{\tanh x}{x} \right) = \frac{1}{x^2} \left( - \frac{x^2}{3} - \frac{11 x^4}{90} + O(x^6) \right) = - \frac{1}{3} - \frac{11 x^2}{90} + O(x^4)$.

6. $x \to 0$ のとき、$\ln y \to - \frac{1}{3}$.

よって、$\lim_{x \to 0} \ln y = - \frac{1}{3}$.

7. したがって、$\lim_{x \to 0} y = e^{-1/3}$.

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tanh x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}} = e^{-1/3}$