与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2}

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2. 解き方の手順

まず、極限の形を確認します。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2 + n + 1} \to 0$ なので、$1 - \frac{1}{n^2 + n + 1} \to 1$ となり、また $n^2 \to \infty$ なので、この極限は $1^\infty$ の不定形です。

そこで、自然対数の底 $e$ の定義 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ を利用できるように式を変形します。

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\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{-1}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2}

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ここで、$x = -(n^2 + n + 1)$ とおくと、$\frac{1}{x} = \frac{-1}{n^2 + n + 1}$ となり、$n^2 = -(x + n + 1)$ となります。

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\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^{\frac{n^2}{x}}

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= \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^{\frac{n^2}{-(n^2 + n + 1)}} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^{\frac{-n^2}{n^2 + n + 1}}

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$n \to \infty$ のとき、$x \to -\infty$ なので、$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ となります。また、

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\lim_{n \to \infty} \frac{-n^2}{n^2 + n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = -1

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したがって、

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\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2} = e^{-1} = \frac{1}{e}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$