与えられた画像には、いくつかの数学の問題があります。 * 問題(13): $x \sin 3x$ の3次近似式を求めよ。 * 問題(14): $-\log(1-x)$ の3次近似式を求めよ。 * 問題(17): $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における$x^5$の係数を求めよ。 * 問題(18): $\frac{x}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開における $x^{100}$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた画像には、いくつかの数学の問題があります。

* 問題(13): $x \sin 3x$ の3次近似式を求めよ。

* 問題(14): $-\log(1-x)$ の3次近似式を求めよ。

* 問題(17): $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における$x^5$の係数を求めよ。

* 問題(18): $\frac{x}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開における $x^{100}$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

**問題(13): $x \sin 3x$ の3次近似式を求めよ**

$\sin x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、

$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \dots = 3x - \frac{9}{2}x^3 + \dots$

$x \sin 3x = x (3x - \frac{9}{2}x^3 + \dots) = 3x^2 - \frac{9}{2}x^4 + \dots$

3次近似なので、$x^3$までの項を求めます。したがって、

$x \sin 3x \approx 3x^2$

**問題(14): $-\log(1-x)$ の3次近似式を求めよ**

$\log(1-x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$

したがって、

$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$

3次近似なので、$x^3$までの項をとります。

$-\log(1-x) \approx x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

**問題(17): $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における$x^5$の係数を求めよ**

$e^x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$

$(x^2+2)e^x = (x^2+2)(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots)$

$= 2 + 2x + x^2 + x^2 + \frac{2x^3}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{2x^4}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{2x^5}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$

$= 2 + 2x + 2x^2 + (\frac{2}{2} + \frac{1}{6})x^3 + (\frac{2}{6} + \frac{1}{24})x^4 + (\frac{2}{24} + \frac{1}{120})x^5 + \dots$

$= 2 + 2x + 2x^2 + \frac{7}{6}x^3 + \frac{9}{24}x^4 + \frac{11}{120}x^5 + \dots$

$x^5$の係数は $\frac{11}{120}$

**問題(18): $\frac{x}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開における $x^{100}$ の係数を求めよ**

$\frac{1}{(1-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

$\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{1-x}) = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$

$\frac{x}{(1-x)^2} = x \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} nx^n$

したがって、$x^{100}$ の係数は100

3. 最終的な答え

* 問題(13): $3x^2$

* 問題(14): $x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

* 問題(17): $\frac{11}{120}$

* 問題(18): 100