関数 $y = \log_3 x$ の定義域が $\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ であるとき、この関数の値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 x$ の定義域が $\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ であるとき、この関数の値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、定義域の端点の値を関数に代入して、値域の範囲を求めます。

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$y = \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$ となります。ただし、定義域には $\frac{1}{3}$ は含まれていないため、この値は値域に含まれません。したがって、$y > -1$となります。

$x = 3\sqrt{3}$ のとき、$y = \log_3 (3\sqrt{3}) = \log_3 (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_3 (3^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$ となります。定義域には $3\sqrt{3}$ が含まれているため、この値は値域に含まれます。したがって、$y \le \frac{3}{2}$となります。

よって、値域は $-1 < y \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \le \frac{3}{2}$