関数 $y = \log_2{x}$ の定義域が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるとき、この関数の値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2{x}$ の定義域が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるとき、この関数の値域を求めよ。

2. 解き方の手順

対数関数 $y = \log_2{x}$ は、底が2であり、2 > 1なので、単調増加関数である。

したがって、$x$ が増加すると、$y$ も増加する。

定義域 $\frac{1}{2} < x \leq 3$ における、$y$ の最小値と最大値を求める。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \log_2{\frac{1}{2}} = \log_2{2^{-1}} = -1$ である。ただし、$x > \frac{1}{2}$ なので、$y > -1$ である。

$x = 3$ のとき、$y = \log_2{3}$ である。

したがって、値域は $-1 < y \leq \log_2{3}$ となる。

3. 最終的な答え

$-1 < y \leq \log_2{3}$