関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いて、$y = x^2 \cos x$ の $n$ 階導関数を求めます。ライプニッツの公式は以下のように表されます。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u = x^2$、$v = \cos x$ とします。

$u = x^2$ の導関数は以下のようになります。

$u' = 2x$

$u'' = 2$

$u^{(k)} = 0$ (for $k \ge 3$)

$v = \cos x$ の導関数は周期的に変化します。

$v' = -\sin x = \cos(x + \frac{\pi}{2})$

$v'' = -\cos x = \cos(x + \pi)$

$v^{(k)} = \cos(x + \frac{k\pi}{2})$

ライプニッツの公式に代入すると：

$y^{(n)} = \binom{n}{0} u^{(n)}v + \binom{n}{1} u^{(n-1)}v' + \binom{n}{2} u^{(n-2)}v'' + \dots$

$u$ の3階以上の導関数は $0$ なので、$k \ge 3$ の項は $0$ になります。そのため、ライプニッツの公式は以下のようになります。

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} 2x \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \binom{n}{2} 2 \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

二項係数を展開すると：

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cdot 2x \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x^2 \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$