関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

まず、関数を $y = (x^4 + 5)^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分（チェーンルール）を用います。

チェーンルールは、$y = f(g(x))$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で表されます。

この問題では、$f(u) = u^{-1}$ と $g(x) = x^4 + 5$ と考えると、$y = f(g(x))$となります。

まず、$f(u) = u^{-1}$ を $u$ で微分します。

$\frac{df}{du} = -1 \cdot u^{-2} = -u^{-2}$

次に、$g(x) = x^4 + 5$ を $x$ で微分します。

$\frac{dg}{dx} = 4x^3$

したがって、チェーンルールより、

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{dg}{dx} = -u^{-2} \cdot 4x^3$

ここで、$u = x^4 + 5$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = -(x^4 + 5)^{-2} \cdot 4x^3$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$