練習5の各数列について、正の無限大に発散するか、負の無限大に発散するか、または振動（収束せず、正の無限大にも負の無限大にも発散しない）するかを答え、証明せよ。

1. 問題の内容

練習5の各数列について、正の無限大に発散するか、負の無限大に発散するか、または振動（収束せず、正の無限大にも負の無限大にも発散しない）するかを答え、証明せよ。

2. 解き方の手順

問題文に「練習5の各数列」とありますが、数列が具体的に提示されていません。したがって、具体的な数列が与えられていないため、一般的な解き方を示すことしかできません。

数列 $a_n$ が与えられた場合、数列の極限を調べます。

* $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ ならば、正の無限大に発散します。

* $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$ ならば、負の無限大に発散します。

* $\lim_{n \to \infty} a_n$ が存在する場合（有限の値に収束する場合）、数列は収束します。

* $\lim_{n \to \infty} a_n$ が存在しない場合で、正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、数列は振動します。

例：

数列 $a_n = n$ の場合：

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty$ となるため、正の無限大に発散します。

数列 $a_n = -n$ の場合：

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} -n = -\infty$ となるため、負の無限大に発散します。

数列 $a_n = (-1)^n$ の場合：

$n$が偶数のとき $a_n = 1$, $n$が奇数のとき $a_n = -1$ なので、数列は1と-1の間を振動し、極限は存在しません。正の無限大にも負の無限大にも発散しないため、振動します。

数列 $a_n = \frac{1}{n}$ の場合：

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ となるため、0に収束します。

3. 最終的な答え

具体的な数列が与えられていないため、最終的な答えは提示できません。数列が与えられれば、上記の解き方の手順に従って、それぞれの数列が正の無限大に発散するか、負の無限大に発散するか、または振動するかを決定できます。